施密特系统的校正镜方程求解

bojone

首发：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1257/


非抛物面望远镜的校正镜方程求解
The Corrector Plate of Non-parabola Telescope

为了克服折射望远镜的色差问题，1670年，牛顿制造了第一台实用的反射式望远镜，将望远镜的主镜由玻璃透镜换成了抛物反射面，从而消除了色差。然而，相比球面镜，大口径的抛物面并不容易磨制。因为制作大球面镜只需要将曲率相等的小镜片相对自由组合在一起就行了，而抛物线每点的曲率并不相等，所以需要逐个磨制曲率不等的小镜片，并按照严格的顺序组合起来。这无疑大大增加了磨制难度。



为了解决这一难题，天文学家们想到了一个折衷的办法：以球面为主镜，并配以校正镜来校正球差。迎着这一思路，施密特望远镜随之而生。而当代的大望远镜基本上都是沿用这一思路。然而，校正镜是一个比抛物面更加复杂的四次曲面，磨制工艺要求更高，因此，校正镜也不宜过大。

BoJone查阅潘君骅前辈的《光学非球面的设计、加工与检验》后发现，目前求校正镜方程的方法有两种：一是利用所谓“三级象差理论”；二是通过无穷级数来逼近。前者本身就是一种近似理论，结果显然是近似的；后者虽然可以达到任意想要的精度，但是在有限项的情况下以就是近似的。

本文以向量和微积分为基本工具，在已知主镜形状的情况下，求出校正镜（反射镜）的方程。换句话说，就是求出怎样的两块反射镜组合能够将平行射入的光汇集到一点上。我们能够发现，答案有一个简单的形式，而繁琐的地方在于化简的过程。最终得出了施密特望远镜校正境（Schmidt corrector plate）的一般方程，其中包含直角坐标和参数方程两种形式，结果表明这是一条“环面曲线”。

统一方程


如图所示，主、副境形状分别为，光路为，Q为焦点，为焦点向量，。为了表述的方便，令，记分别为的模。
根据光学的反射定律，和与的切线的夹角相同，因此有
————(1)
同理

利用恒等式得到（对两边微分立马可以得到这一恒等式）
————(2)
(2)-(1)得

积分一次得
————(3)
另外一道方程由(1)给出，换句话说，(1)和(3)共同确定了。这就是非抛物面望远镜的校正镜方程的通用形式。在图中还可以看出焦距，“”是在水平位置时的模。当然，实际应用中还需要根据主镜的具体形式，来对校正镜的方程进行化简。下面就针对主镜是球面镜的情况（也就是施密特系统）来体现这一思路。这就是本文的核心内容，一个月的思考结果......

施密特系统
建立以圆心为原点的直角坐标系，并进行以下设置：


；初始条件：
将其代入(1)，就可以得到

那么接着就能够写出


而将其代入(3)，就有



整理得

到了这一步，可以分两种情况讨论：
(1) 当时，


为了使形式更加简单，我们取C=2，得到；如果将这个结果代入，并换回直角坐标系，不难发现这个一个六次函数。用它所构成的望远镜如图：



(2) 当时，我们不妨想办法将D变成一个常数，也就是要求


（这样两端才能通约）
令人惊喜的是上面两式居然是自洽的，也就是


那么就有，这就是我们所希望的结果！因为这样既把方程形式变成最简，而结果又是不唯一的（k可以自由设置）

根据，

令

有



展开之后就是


这是一个四次函数（利用数学软件可以快速地展开成的级数形式），这种形式的曲线也叫“环面曲线”（toric section，正如圆锥曲线是圆锥面和平面相交而成的，它是由平面和环面相交形成的曲线）。它的焦距为。


当时结构如下：

这就是我们最常见的施密特系统的光学结构，校正板方程为


不难发现，校正板中心部分是很接近直线的。这表明当球面不大时，是可以将其当成焦距为半径一半的抛物面来使用。事实上，当x=0.7499999，y=0.015，也就是说，精度为0.0000001时，口径（直径）为0.06、球半径为1的球面镜可以当作一个焦距为0.5的抛物面镜来使用的。

分析总结
本文使用向量和基本微积分为工具，先得出了“非抛物面望远镜的校正镜方程的通用形式”，然后以此为基础，对施密特系统进行了简要分析，最后得出了施密特系统的校正板的方程以及焦距公式等结果。BoJone是一个天文爱好者，更是一个数学爱好者。在写这篇文章时，并没有阅读现行的一些光学著作，因此在表达和记号方面可能会与这些著作有些出入。笔者纯粹是将其当作一个普通的物理数学问题进行分析，得出一点小小的结果，遂与大家分享，希冀能够起到抛砖引玉的效果。

参考：
1、潘君骅前辈的《光学非球面的设计、加工与检验》
2、维基百科“环面曲线”：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%92%B0%E9%9D%A2%E6%9B%B2%E7%B7%9A
3、向量应用：
http://spaces.ac.cn/index.php/search/%E5%90%91%E9%87%8F/

bojone

以上就是去年11月中旬到12月中旬近一个月的思考结果。欢迎大家参考

yangjj76

额滴数学知识基本上还给老师了，进来膜拜高人

zhangyf1997

先占楼，后细读。。。

bojone

不过我还是有一个问题：为什么球面镜会比抛物面镜容易加工？

zhjj

哇~终于写出来了~~
还没有仔细看后面详细的推导，不过还是相信 bojone 同学的数学实力的，赞赞~

下面说说我的一点意见，和楼主讨论讨论~：

楼主提出的这种，我觉得严格说来不能算是反射型的施密特系统。既然楼主有潘君骅老师的《光学非球面的设计、加工与检验》这本书，可以看看后面有关反射型施密特系统的讨论（顺便一说，LAMOST 就是反射型施密特系统，呵呵~~）。反射型施密特系统，反射型改正镜在前，然后才是球面主镜。也就是说，光线先碰到的是改正镜，然后才是主镜，和楼主这样的系统不一样。

之前和楼主就折射型施密特系统的面型方程有过讨论，现在想来，因为同样的误会，我们原先讨论的东西并不一样呢。折射型施密特系统也同样是改正镜在前，然后是主镜的说~

至于说为什么改正镜要放在主镜之前，主要是考虑到消除彗差的需要，并且改正镜需要放在主镜的球心处。当然，改正镜在前的形式也有利于消除其他的轴外像差~

zhjj

不过我还是有一个问题：为什么球面镜会比抛物面镜容易加工？
bojone 发表于 2011-2-11 17:20

   这个要涉及到镜片的制造了，球面有无数个对称轴，所以仅仅用普通的往复运动（加上旋转）进行磨削就可以制造出来，而抛物面只有一个对称轴，制造上要困难得多，通常都是从一个球面出发，逐步修改得到的。

bojone

反射型施密特系统，反射型改正镜在前，然后才是球面主镜。也就是说，光线先碰到的是改正镜，然后才是主镜，和楼主这样的系统不一样。
zhjj 发表于 2011-2-11 17:44

我觉得很奇怪，要是校正镜是折射透镜，或者还可以把它放在球面镜的前面。要是反射校正镜，放在球面镜前，不是要做得比球面镜大？还是在球面中心开一个孔，让光从球面中心进去，通过反射校正镜校正反射到球面镜？要是这样的话，那么望远镜的口径是按校正镜口径算还是球面镜口径算？

老记

既然校正镜这么复杂,为什么不直接走抛物面路线?实在难理解

bojone

回复 9# 老记

因为大抛物镜的制作难度大于“大球面+相对小的校正镜”

zhjj

回复 8# bojone


   反射型施密特系统大致是这个样子的：

在潘老师那本书里有说到，另外也可以搜搜 LAMOST，也是差不多的
由于失去了对称性，因此反射型施密特系统轴外像差也是不对称的，彗差和象散都不好解决

bojone

回复 11# zhjj


    可依旧是那个问题，那么这样的话望远镜的口径算谁的？校正镜还是球面镜？要是球面镜的话，为啥？

zhjj

回复 12# bojone


   通常对施密特望远镜来说，都会标上两个参数，一个是主镜口径，一个是改正镜口径。比如国家天文台兴隆站有一架60/90施密特望远镜，60是改正镜尺寸，90是主镜尺寸。如果说要计算焦比F/D的话，那么改正镜的口径可以算作这个D

bojone

回复 13# zhjj

那我感觉这种结构会有点“浪费”，集光能力应该是看先碰到光的那一块镜子（难道不是？），大口径校正镜的制作更加难，放在望远镜前，不是把大口径望远镜的制作难度大大提高吗？
当然，这种结构可以扩大视场，lamost就是兼顾大口径和大视场的。

Lamost的介绍

（1）首架主动反射施密特望远镜

施密特望远镜的诞生大大增加了望远镜的有效视场，在“巡天”工作中起到了无可替代的巨大作用。然而由于传统的施密特望远镜用了一块“改正透镜”，所以它也像折射望远镜那样不可能做得很大。LAMOST采用“主动反射改正镜”（亦称“改正板”）来代替“改正透镜”，因而称为主动反射施密特望远镜，应用主动光学技术控制反射施密特改正板，LAMOST成功地解决大视场望远镜不能同时具有大口径的难题。

zhjj

回复 14# bojone


   是的，说的没错，就拿我之前举例子的60/90施密特望远镜来说（这是折射型的），改正镜口径60，主镜口径90，也就是说真正起到集光作用的也就是改正镜60。主镜比改正镜大得多是因为大视场的关系。像折射型施密特这种，有远离孔径光阑的光学表面，同时又是大视场的系统，那些远离孔径光阑的表面会比较大。也就是说，视场越大，主镜也会越大，但集光能力由改正镜决定。
另外，你引用的那段话里也说了，大口径的改正镜（折射）制造困难，因此现在世界上最大的折射型施密特其改正镜也就不到1米吧。但是反射型的改正镜相对来说就不那么困难（虽然面型仍然是复杂的，但是大小的限制就没有了，毕竟光线不用穿透改正镜），所以 LAMOST 才选择反射型

zhjj

回复 9# 老记

既然校正镜这么复杂,为什么不直接走抛物面路线?实在难理解
老记 发表于 2011-2-11 19:47

   有好几个原因，一是改正镜虽然面型复杂，但是其与平面的偏差比较小，也就是说加工量比较小，因此相对主镜为抛物面的方案，更容易一些；二是主镜为球面的话，对校正轴外像差而言有特别的优势，这是对大视场系统必须的素质。你可以参考抛物面牛反的视场大小，就可以发现其实抛物面牛反视场是非常小的，就是这个原因。

公爵M16

啃知识来也~

huyiteng

学知识来~亏得自己也学过微积分，看来得捡捡了= =

zwhzjh

真是膜拜加佩服！！而表示我的敬佩之情的最好的方式就是将楼主整个运算过程从头到尾通读和检验一遍并做到完全理解，这样才能不辜负楼主的一番心血——花了那么长时间的思考和那么仔细耐心的将整个过程和大家共享（但我有点担心，你将结果贴出来后还能在期刊上发表吗？）。我自己把您的整个计算过程都验算了一遍，以我自己的水平来看是一点都没有问题的，是正确的。现在说说我对数学运算部分的感想。

1）方程（3），就是那个校正镜方程的通用形式其实根据你不太喜欢用的光学费马原理可以秒得。

2）关于theta和phi角的关系，就是theta=phi/2-pi/2，可以根据圆和平行线的性质和反射定律得到。

3）以上的这些简化部分在下以前思考这个问题的时候也想到了。但在后面的计算部分，你所展现的数学感觉，技巧，尤其是处理复杂计算的勇气，我只有膜拜加佩服了！！我也想过要用三角函数的方法来运算，但一看到代入展开后的那一大堆运算项，我就望而却步了。

4）而且关键的是，我总想着未知数越少越好，像向量D，我总喜欢用R-r表示，但这样就完全走入死胡同了，有时候退一步海阔天高，多加一个未知数或者让代数式的次数升高一次，会带来意想不到的好处——而这个好处，可能是你的整个运算过程中最让人吃惊的结果——就是向量D的模，即从球面镜反射出来到改正镜之前的光程竟然是恒定的。也不知道你是怎么想到这个的——不过这个构思倒和你以前解拉格朗日点的L4和L5点的解法有异曲同工之妙。不过这个可是难多了，因为向量D的模恒定的事实之前并没有人知道。

5）最后的方程可以完全用向量运算的形式进行改写和表达(而改写的过程麻烦的一点是方程里面的1要用球面镜的半径进行改写，其次数更是要小心检验)。我在想，能不能完全用向量的方法，而不用这么复杂的代数运算解出这个方程？尤其是向量D的模恒定这个结果能不能有简单一些的方法求出来？里面很有可能要运用几何中圆的性质和一些距离不变的点线的性质进行运算。当然我想你可能不太有精力，时间和兴趣去想这个事情，而这个问题应该是很困难的，以我的数学能力可能是远不能解决它的，只好尽力而为了。

6）关于折射式前置的改正镜，在不考虑色差的情况下，其校正镜方程的通用形式（形式和你的方程3类似，也包含球面镜法线向量）也可以很快就写出来了。但要解出曲线方程的话不知可行否——按你以前的说法，好像方程的系数中只要加上折射率的修正就可以了。

7）还有我以前提出的中心遮挡问题。我可以自己算一算，当f=1时的中心遮挡，后面会贴出来。不过根据你的图，应该会相当可观。

bojone

回复 19# zwhzjh


    我已经决定不发表了。

其实你过奖了^_^你也是值得肯定的，你的工作既是对我的计算的检验，也是对自己计算能力的加强。其实经过一段时间的推演和尝试，向量信手拈来应该没有什么问题的，关键不要钻死胡同，有时可以尝试反演（先用纯代数方法推导，再用向量化简，等等）。不过我不是老师，就不多说了。呵呵

关于第四点，我一开始也没有什么头绪，我并没有想到可以把D作为恒定来算，只是想通过等量代换来化简，无奈那时候得出来的我记得好象是一个十二次方程！（当然只是简单判断了次数，并没有展开）这与我渴望的四次方程初入太大的。然后再研究，发现了形式1的解，其实这也是一个相对简单的解了，但还是一个六次曲线，不符合要求。要是我想当D恒定时是什么情况，我本来以为只有一个k能够使得D恒定（因为要满足两个方程），想不到这两个方程居然是自洽的，于是问题就迎刃而解.......总结，钻研总会有收获的。即使最近未必能够得出想要的结果，也能够在过程中充分磨砺意志和计算能力。

再者，未知数多于不一定是坏事，至少它可以减少我们书写长式子的痛苦，嘻嘻

关于第五点，我也想过有没有其他方法（如用复数等），但是可以从顶楼的推导过程发现，其中的化简过程不具有太多的“几何性”，个人感觉很难从几何性质方面进一步加工了，当然也不肯定。而且，我喜欢代数推导，就是不喜欢记忆太多的几何定律。通常来说，即使我得出了答案，也会再思考一番，争取把最巧妙的解法与大家分享，其实楼顶推导的表达过程我已经改了N次了。

第六，关于折射式，有点差别，很遗憾的是得不到恒定的D（只有个别的k可以得到，k不能任意设置），之前我过于“断论”了。不过我倒有兴趣前置的反射校正镜。

至于遮挡，好像Lamost的结构，它的焦点在两镜之间，这样的话可以把校正镜设置距离主镜远些，较少遮挡率。

我还是个人感觉：把校正镜放在前不是增加了望远镜的制作难度吗？（既是反问，也是疑问）